ОПИСАНИЕ ФАЗЫ РАЗГРУЗКИ В ФИЗИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГОРНОЛЫЖНОГО СПОРТИВНОГО ПОВОРОТА

Данная статья была опубликована в научно-методическом журнале Российского университета спорта ("ГЦОЛИФК") "Экстремальная деятельность человека" в №3 за 2026 год. 

УДК 796.015.12, 796.012.4, 796.012.5

ОПИСАНИЕ ФАЗЫ РАЗГРУЗКИ В ФИЗИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГОРНОЛЫЖНОГО СПОРТИВНОГО ПОВОРОТА

А.А. Ривлин

АНОДО «Учебный центр Федерации горнолыжного спорта и сноуборда России» 

Аннотация

      Обоснование. В работе представлена физическая модель фазы разгрузки горнолыжного спортивного поворота, состоящая из фазы выхода из поворота и фазы перехода. Показано, что в фазе выхода формируются необходимые кинематические условия (направление и вращения тела спортсмена) для преобразования стойки и формирования условий выполнения следующей дуги; в фазе перехода обеспечивается сохранение заданных параметров. Вращения проанализированы в трёх ортогональных плоскостях: квазифронтальной, квазисагиттальной и квазигоризонтальной, с описанием их физической природы и методической значимости для построения траектории.

      Обоснована необходимость угла скольжения, описана динамика перемещения опорной точки по продольной оси лыж.

      Траектория центра масс в плоскости перпендикулярной склону аппроксимирована как адаптивная волновая, что позволяет учитывать изменчивость амплитуды и периодичности в зависимости от внешних трассовых условий.

Цель — разработать физическую модель фазы разгрузки горнолыжного спортивного поворота.

Методы. В статье использованы и показаны данные исследований [14], полученные с систем датчиков, установленных на профессиональных спортсменах в режиме прохождений реальных слаломных трасс с расстановкой ворот с дистанциями 10 и 13 метров. Проведён теоретический анализ физических процессов, определяющих технику спортивного поворота, — в частности, взаимосвязи динамики стойки спортсмена и его положения на траектории. Физическая модель поворота опирается на построенную механико-математическую модель, формализующую взаимосвязь ключевых параметров: смещения опорной точки, угла скольжения, наклона тела, ангуляции, радиуса поворота, скорости. Кинематические параметры (положение центра масс, углы закантовки и скольжения, распределение нагрузки по лыже и др.) сопоставлены с покадровой видеозаписью (кинограммой, рисунок 2) выполнения поворота, что позволило верифицировать расчётные зависимости. Кинограмма использована в качестве визуализации физической модели спортивного поворота. Особенности выполнения слаломного поворота Марселем Хиршером, представленные на кинограмме и описанные в статье кинематические зависимости, характерны для всех профессиональных спортсменов.

Результаты. В рамках физической модели горнолыжного спортивного поворота выделены две фазы разгрузки (выхода из поворота и перехода). В фазе выхода формируются вращения и направление тела, обеспечивающих преобразование стойки для следующей дуги. Формирующиеся вращения провоцируют заднюю стойку и смещение опорной точки к пяткам лыж. В фазе перехода, полученные в фазе выхода вращения, сохраняются, усугубляя смещение к пяткам лыж, достигающее максимума в точке О (Рисунок 1). После точки О (Рисунок 1) начинается совместное изменение ключевых параметров: опорная точка смещается в направлении мысков лыж, одновременно увеличиваются угол наклона опорной линии и угол скольжения. Это следствие пространственной взаимозависимости вращений в ортогональных плоскостях: квазисагиттальные и квазигоризонтальные компоненты движения транслируются в продольное смещение опорной точки и рост угла скольжения, обеспечивая тем самым необходимую перестройку стойки для входа в новый поворот.

Доказано, что угол скольжения выступает важнейшим параметром, балансирующим стойку и корректирующим ключевые параметры криволинейной траектории: скорость, наклон тела и радиус поворота.

Динамика стойки в фазе выхода из поворота определяет характер вращений системы „лыжник‑лыжи“ в фазе разгрузки и задаёт кинематические параметры последующей дуги поворота.

Заключение. В рамках физической модели горнолыжного спортивного поворота выделены две фазы разгрузки: выхода из поворота и перехода. Фаза выхода характеризуется неравновесным состоянием, изменением траектории центра масс с криволинейной на прямолинейную в плоскости склона, уменьшением наклона опорной линии и опорных реакций, а также формированием вращений и направления тела, обеспечивающих преобразование стойки для следующей дуги. Фаза перехода представляет собой неравновесное состояние с минимальными или отсутствующими опорными реакциями, что определяет баллистический характер движения. На этом этапе инерционно сохраняются вращения фазы выхода и происходит инверсия наклона опорной линии. Физическая модель позволяет выявить закономерность перемещения опорной точки по продольной оси лыж. В фазе выхода из поворота на участке траектории от точки В до точки О (Рисунок 1) опорная точка смещается к пяткам лыж, достигая максимального отклонения от центров лыж в точке О. На участке от точки О до точки А (Рисунок 1), по мере увеличения угла скольжения, смещение опорной точки в направлении мысков лыж обусловлено квазигоризонтальным и квазифронтальным вращениями, а также скручиванием тела вдоль опорной линии.

Траектория центра масс в плоскости, перпендикулярной склону, аппроксимирована как адаптивная волновая кривая, отражающая периодические колебания с изменяющейся амплитудой и периодичностью в зависимости от трассовых условий.

      Выявлено, что опережающее касание склона мысками лыж в начале загрузки (Рисунок 1, точка А) связано с интенсивностью вращений в квазисагиттальной и квазигоризонтальной плоскостях и чаще наблюдается в закрытых поворотах.

Показанная физическая модель поворота является универсальной и применимой для дуг любого радиуса — от слаломного поворота до поворота в скоростном спуске.

Ключевые слова: физическая модель; горнолыжный спортивный поворот; угол скольжения; ангуляция; стойка; радиус поворота.

DESCRIPTION OF THE UNLOADING PHASE IN THE PHYSICAL MODEL OF ALPINE SKIING TURN

A.A. Rivlin

ANODO "Training Center of the Russian Alpine Skiing and Snowboarding Federation"

Abstract

Background. This paper presents a physical model of the unloading phase in an alpine ski turn, which comprises the exit phase and the transition phase. It is shown that the exit phase generates the necessary kinematic conditions—namely, the athlete’s body orientation and rotations—to reconfigure the stance and set up the conditions for executing the subsequent turn arc. The transition phase ensures the preservation of the established parameters.

      Rotations are analyzed in three orthogonal planes—quasi‑frontal, quasi‑sagittal, and quasi‑horizontal—with a description of their physical nature and methodological relevance for trajectory shaping.

      The necessity of the slip angle is substantiated, and the dynamics of the support point movement along the longitudinal axis of the skis are described.

      The trajectory of the center of mass in a plane perpendicular to the slope is approximated as an adaptive wave, which accounts for the variability of amplitude and periodicity depending on external track conditions.

Aims — to develop a physical model of the unloading phase of an alpine skiing turn.

      Methods. The article utilizes and presents research data [14] collected via sensor systems mounted on professional athletes during actual slalom runs on courses with gate spacing of 10 and 13 meters. A theoretical analysis was conducted of the physical processes occurring during a sports turn, governed by the dynamics of the athlete’s stance and their position along the trajectory.

      The physical model of the turn is based on a developed mechanical‑mathematical model that formalizes the interrelationships among key parameters: support point displacement, slip angle, body inclination, angulation, turn radius, speed, and others.

      Kinematic parameters—including the position of the center of mass, edging and slip angles, and load distribution along the ski—were compared with a frame‑by‑frame video record (frame sequence) of the turn execution, enabling the validation of the calculated relationships. The frame sequence served as a visualization of the physical model of the sports turn.

      The slalom turn features demonstrated by Marcel Hirscher in the frame sequence, along with the reported kinematic patterns, are representative of the technique employed by professional athletes.

      Results. Within the framework of the physical model of an alpine ski turn, two unloading phases are identified: the turn exit phase and the transition phase. In the turn exit phase, rotations and body orientation are formed, enabling the transformation of the stance for the subsequent arc. The emerging rotations induce a rearward stance and a displacement of the support point toward the heels of the skis. In the transition phase, the rotations acquired in the exit phase are preserved inertially, further aggravating the displacement toward the heels, which reaches its maximum at point O (Figure 1). After point O (Figure 1), a simultaneous change in key parameters begins: the support point shifts toward the tips of the skis, while the tilt angle of the support line and the glide angle increase simultaneously. This is a consequence of the spatial interdependence of rotations in the orthogonal planes: quasi-sagittal and quasi-horizontal motion components are translated into a longitudinal displacement of the support point and an increase in the glide angle, thereby providing the necessary stance restructuring for entry into the new turn.

      It is demonstrated that the glide angle serves as the most important parameter for balancing the stance and correcting the key parameters of the curved trajectory: speed, body inclination, and turn radius.

      The dynamics of the stance during the turn exit phase determines the nature of rotations of the "skier–skis" system in the unloading phase and sets the kinematic parameters of the subsequent turn arc.

Conclusion. Within the framework of the physical model of an alpine ski turn, two unloading phases are identified: the turn exit phase and the transition phase. The turn exit phase is characterized by a non-equilibrium state, a change in the center-of-mass trajectory from curvilinear to rectilinear in the slope plane, a decrease in the tilt angle of the support line and support reactions, as well as the formation of rotations and body orientation enabling the transformation of the stance for the subsequent arc. The transition phase constitutes a non-equilibrium state with minimal or absent support reactions, which determines the ballistic nature of the motion. At this stage, the rotations acquired in the exit phase are preserved inertially, and the inversion of the support line tilt occurs. The physical model reveals a pattern of support point displacement along the longitudinal axis of the skis. In the turn exit phase (trajectory segment from point B to point O (Figure 1)), the support point shifts toward the heels of the skis, reaching its maximum deviation from the ski centers at point O. On the segment from point O to point A (Figure 1), as the glide angle increases, the displacement of the support point toward the tips of the skis is driven by quasi-horizontal and quasi-frontal rotations, as well as by the twisting of the body along the support line.

      The trajectory of the center of mass in the plane perpendicular to the slope is approximated as an adaptive wave curve reflecting periodic oscillations with varying amplitude and periodicity depending on course conditions.

      It is found that the leading contact of the ski tips with the slope at the beginning of the loading phase (Figure 1, point A) is associated with the intensity of rotations in the quasi-sagittal and quasi-horizontal planes and is most frequently observed in closed turns.

      The presented physical model of the turn is universal and applicable to arcs of any radius — from a slalom turn to a downhill turn.

Keywords: physical model; alpine skiing turn; slip angle; angulation; stance; turn radius. 

Введение. Термины: линия ската, опорная линия, опорная точка, угол скольжения, стойка (центральная, передняя, задняя) и другие термины определены и описаны в [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11].

В статье в таблицах 1, 2, 3 использованы и показаны данные исследований [14], полученные с систем датчиков, установленных на профессиональных спортсменах в режиме прохождений реальных слаломных трасс с расстановкой ворот с дистанциями 10 и 13 метров.

Спортсмен при выполнении разнонаправленных поворотов, двигаясь по дуге поворота, имеет определенную динамическую стойку со специфическими особенностями ее построения для эффективного управления траекторией. Биомеханика стойки не является целью описания данной работы и будет показана в последующих публикациях. Для создания противоположно направленной траектории лыжнику необходимо фактически отзеркалить имеющуюся стойку относительно направления трассы, то есть ее изменить, преобразовать. Для преобразования стойки необходимо определенное время и определенная дистанция пути, на которой выполняется перемещение лыжника из одной дуги поворота в очередную противоположно направленную.

Таким образом, спуск лыжника по склону состоит из чередующихся разнонаправленных дуг и участков переходов между ними. В физической модели поворота движение лыжника по дугам поворотов соответствует фазам загрузок (участки траекторий от точки А до точки В (Рисунок 1)). Участки перемещений соответствуют фазам разгрузок (участки траекторий от точки В до точки А (Рисунок 1) [11]).

Таким образом, в фазе разгрузки выполняется преобразование стойки завершающегося поворота в стойку предстоящего поворота с перемещением тела лыжника на интервалах движения от мест окончаний загрузок до мест начал следующих загрузок.

Рисунок 1 — Фазы спортивного поворота на траектории горнолыжной спортивной трассы

Цель исследования — разработать физическую модель фазы разгрузки горнолыжного спортивного поворота.

Организация исследования.

      Исследование базируется на комплексе теоретических разработок в области механико-математического моделирования горнолыжного поворота, представленных в предшествующих работах (см. список литературы). Методологическая основа включает как формализованные расчётные зависимости, так и эмпирические данные, полученные в ходе практической реализации модели.

      Практическая составляющая исследования опирается на авторский опыт в спортивной подготовке (тренерская и преподавательская деятельность, соревновательная практика). Апробация физической модели поворота проводилась в тренировочном процессе с контингентом различной квалификации — от начинающих спортсменов до атлетов высокого класса. Это позволило верифицировать ключевые параметры модели (в т. ч. динамику опорной точки, условия неравновесных состояний, фазовую структуру разгрузки) в реальных условиях трассы.

Описание. В [9] была описана фаза загрузки, состоящая из фазы инициации поворота (входа в поворот) и фазы ведения дуги поворота. Определяющими критериями фазы загрузки являются: движение лыжника по дуге поворота в состоянии динамического метастабильного равновесия [9] с опорными реакциями, существенно превышающими вес лыжника; наклон тела внутрь поворота, соответствующий радиусу кривизны траектории и скорости движения лыжника. Для смены направления дуг лыжник должен инверсировать свой наклон относительно нормали к склону. Очевидно, что это возможно выполнить только в неравновесном положении [9, 11].

Неравновесное состояние при относительном движении с точки зрения динамики является антиподом равновесному, в котором находится спортсмен при нахождении в зоне устойчивости состояния динамического метастабильного равновесия фазы загрузки. При движении лыжника в фазе загрузки его центр масс связан с опорой и двигается однонаправленно с опорной точкой. Их траектории близки к параллельным, хотя имеют разные радиусы кривизны. Стойка лыжника имеет плавные нерезкие изменения для минимизации влияния внутренних сил системы «лыжник-лыжи» на траекторию и на состояние динамического метастабильного равновесия [9, 11].

Для выполнения противоположно направленной траектории лыжнику необходимо завершить выполняемую траекторию, задать направление тела в новую дугу поворота и преобразовать стойку. Это выполняется в фазе разгрузки на участке от точки В до точки А (Рисунок 1). Для этого лыжнику необходимо выполнить определенные технические действия, то есть быстро изменить стойку, спровоцировав неравновесное положение, чтобы инициировать вращение тела и начальный импульс в направлении следующей траектории (выполняется в фазе разгрузки от точки В до точки Г (Рисунок 1) и называется фазой выхода из поворота). Определенное направление для перемещения тела в новую дугу поворота намечается лыжником в момент выполняемой загрузки, с учетом места предполагаемого начала следующей загрузки.

Неравновесное состояние характеризуется наличием быстрых вращений корпуса и/или быстрых движений конечностей, продолжительность которых много меньше длительности равновесных положений в дуге поворота. Инициация или завершение таких быстрых движений/вращений обязательно связаны с наличием линейных и угловых ускорений элементов механической системы, что автоматически приводит к возникновению моментов сил инерции, т.е. к потере условий равновесия. Так как движение по трассе складывается из сопрягаемых разнонаправленных дуг с соответствующими наклонами тела, спортсмен заинтересован в сокращении времени переходов между дугами и наиболее быстрых инверсиях своего наклона с целью начала выполнения последующих дуг. С позиции кинематики переход из одного поворота в другой означает вращение тела лыжника для создания противоположного направления кривизны траекторий проекции центра масс и опорной точки в новом повороте. Сами вращения инициируются при выходе из поворота в фазе выхода.

Таким образом, при переходе в новый поворот спортсмен заинтересован в наиболее быстрых вращениях, что часто приводит к отрывам лыж от склона, потере опоры и перемещению центра масс по баллистической траектории. Минимизация опорных реакций позволяет не препятствовать быстрым вращениям, изменяющим наклоны тела, ускоряющим выходы из поворотов для выполнения следующих за переходами дуг. Спортсмен в переходах пытается уменьшить связь со склоном для минимизации опоры на развивающиеся вращения. Переход между дугами сопровождается либо отсутствием опорных реакций, либо минимальными опорными реакциями, не превышающими вес системы «лыжник-лыжи», и неравновесным положением. Этот участок траектории фазы разгрузки от точки Г до точки А (Рисунок 1) называется фазой перехода.

Рисунок 2 — кинограмма фазы разгрузки выполнения слаломного поворота на спортивной трассе

Анализ фазы разгрузки выхода из поворота. Как было показано в [9, 11], спортсмен стремится выполнять повороты в положении наиболее близком к равновесному, двигаясь в поворотной дуге, в фазе загрузки в состоянии динамического метастабильного равновесия, что требует от него определенных технических действий и энергетических затрат. Равнодействующая опорных реакций имеет тенденцию к хаотичным отклонениям от центра масс. Спортсмен же в процессе выполнения загрузки своей мелкой моторикой старается минимизировать эти отклонения, находясь, по сути, на грани потери и восстановления устойчивости [7, 9, 11]. Для выхода из поворота и перемещения в новую траекторию спортсмен, напротив, провоцирует отклонение равнодействующей опорных реакций посредством быстрого изменения стойки, интуитивно переходя в неравновесное состояние. Это выполняется на участке траектории от точки В до точки Г (Рисунок 1), что видно на кадрах 5, 6, 7 кинограммы (Рисунок 2). По сути спортсмен координированно сочетает смещение тела относительно точки опоры в направлении наружу поворота с контролируемым уменьшением опорных реакций для снятия давления с лыж, возникающего при загрузке. Это необходимо для инициации вращения тела и возможности дальнейшего перехода к стойке, оптимальной для выполнения новой дуги поворота. В результате центр масс, смещаясь наружу поворота, оказывается выше равнодействующей опорных реакций. Возникает плечо действия силы, создающее момент инерции, и система «лыжник‑лыжи» получает вращение. Для анализа динамики стойки необходимо рассмотреть вращение в трех ортогональных плоскостях: квазисагиттальной (образуемой опорной линией и вектором скорости), квазигоризонтальной (перпендикулярной к опорной линии) и квазифронтальной (перпендикулярной к вектору скорости), и оценить вклад каждой из них в изменение динамических характеристик стойки. При этом следует учитывать, что взаимное влияние выделенных плоскостей на динамические характеристики стойки приобретают выраженную пространственную зависимость: локальные изменения кинематики в одной плоскости транслируются в смежные плоскости. Инициирование спортсменом вращения сопровождается уменьшением наклона опорной линии и очень быстрым уменьшением опорных реакций. Центр масс спортсмена стремится двигаться по касательной к траектории, направляясь под действием сил тяжести и инерции в новую траекторию. Траектории центра масс и опорной точки в плоскости склона начинают стремительно сходиться. Описываемые действия фазы разгрузки спортсмен выполняет преимущественно интуитивно, преследуя главную цель - как можно быстрее выйти из поворота, получив необходимые вращения. Технические действия, инициирующие вращения для получения оптимальной стойки нового поворота и перемещения тела в новую траекторию, отрабатываются на тренировках, доводятся до автоматизма и становятся индивидуальной технической особенностью спортсмена.

Анализ фазы перехода. В фазе перехода при опорных реакциях, не превышающих вес системы «лыжник‑лыжи» или при их отсутствии, заданные в фазе выхода вращения и направление сохраняются инерционно. Активное влияние спортсмена на эти параметры отсутствует, так как текущие условия обеспечивают автоматическую смену дуги без дополнительных усилий.

Это происходит на участке траектории от точки Г до точки А (Рисунок 1). На рисунке 2 положение спортсмена в точке В соответствует кадру 5, в точке Г — кадру 7, в точке О — кадру 10, в точке А — кадру 13. В плоскости склона его траекторию (траекторию центра масс) можно считать прямолинейной, хотя она имеет незначительную параболичность вследствие наклона склона.

При вращении в квазифронтальной плоскости в точке О (Рисунок 1) возникает инверсия угла наклона опорной линии. На участке траектории от точки В до точки О (Рисунок 1) центр масс удаляется от поверхности склона, а на участке от точки О до точки А (Рисунок 1) — приближается. При ориентации тела наружу траектории расстояние от центра масс до склона по нормали возрастает с увеличением крутизны склона. В фазе загрузки наблюдается дальнейшее приближение центра масс к склону.

Таким образом, в плоскости, перпендикулярной склону, формируется траектория центра масс с естественными отклонениями по нормали. Траектория характеризуется плавными подъёмами и опусканиями. В первом приближении траекторию можно аппроксимировать адаптивной волновой кривой: её форма отражает плавные периодические колебания с изменяющейся амплитудой и периодичностью, обусловленными трассовыми условиями. При управлении опорными реакциями за счёт сгибания‑разгибания тела относительно опоры спортсмен минимизирует отклонения центра масс по нормали, уменьшая амплитуду колебаний. Это приводит к сокращению пути, проходимого центром масс, и, как следствие, к увеличению потенциальной скорости движения. При этом адаптивный волновой характер траектории сохраняется, хотя амплитуда отклонений по нормали к склону уменьшается.

Вращение лыжника в квазифронтальной плоскости влияет на вероятность отрывов лыж от склона в фазах перехода. Увеличение скорости выполнения поворотов требует более быстрых преобразований стойки в фазах разгрузок, что приводит к росту угловых скоростей вращений системы «лыжник‑лыжи». Увеличение угловых скоростей наряду с естественными подъемами центра масс на спортивной трассе очень часто приводит к отрывам лыж от склона. Чаще всего отрывы возникают в динамичных дисциплинах: специальном слаломе и слаломе-гиганте. В них время на преобразование стойки меньше, чем в скоростных. Кроме того, отрывы провоцируются спортсменом во всех ситуациях, когда необходимо начинать очередную поворотную дугу как можно раньше. В таких случаях спортсмен стремится максимально ускорить преобразование стойки, а значит, увеличить угловые скорости вращений системы «лыжник‑лыжи». Для увеличения скорости прохождения трассы требуются более значительные наклоны в поворотах. Это влечёт более интенсивные вращения тела в фазах разгрузок, частые отрывы лыж, вертикальные ускорения центра масс, увеличивающие амплитуду отклонений от склона.

Несмотря на простоту переноса лыж и их разворота в новую траекторию в случае их отрыва, спортсмен заинтересован в сохранении контакта лыж со склоном и должен стараться в фазе перехода хотя бы минимально прижимать лыжи к поверхности. Это связано с тем, что отрывы негативно сказываются на скорости и траектории движения по следующим причинам. Во‑первых, отрывы могут свидетельствовать о чрезмерных подъёмах центра масс над склоном, что удлиняет траекторию центра масс за счёт увеличения амплитуды отклонений центра масс по нормали к склону, и одновременно увеличивает время, необходимое для создания требуемого угла наклона тела при входе в поворот. Во‑вторых, при касаниях лыж с поверхностью склона в началах фаз загрузок в точке А (Рисунок 1) с имеющимся начальным наклоном тела и, следовательно, начальным углом закантовки, возникают, причем, скачкообразно существенные поперечные движению силы трения. Возникает излишнее торможение и увеличенный угол скольжения. В случае сохранения контакта со склоном переход лыж в закантованное положение осуществляется с их плоского ведения, а угол закантовки в этом случае будет увеличиваться постепенно — с нулевой отметки. Такой механизм обеспечивает плавное нарастание опорных реакций, что позволяет избегать излишнего торможения, уменьшает проскальзывание лыж, даёт возможность выполнять повороты с меньшими углами скольжения. В результате спортсмен может двигаться на более высоких скоростях. В горнолыжной среде существуют термины: цепляться лыжами за склон, меньше тормозить, раньше начинать повороты. Решение этих задач во многом зависит от сохранения контакта со склоном в фазе перехода. Поэтому на тренировках нужно избегать постановки лыж на канты в началах поворотов, отрабатывать плавное увеличение закантовки с плоского ведения лыж.

Кроме того, подъёмы центра масс в фазах разгрузок, хотя и неизбежны, но нежелательны ещё по следующей причине: низкое положение центра масс над склоном, достигаемое за счёт группировки тела (Рисунок 2, кадр 10), при последующем распрямлении тела позволяет создавать увеличенные углы наклонов опорной линии при входах в повороты в точке А (Рисунок 1), спрямляя этим траекторию центра масс. Такое техническое действие позволяет спортсмену выполнять повороты на более высоких скоростях. Вместе с тем в отдельных ситуациях в фазе выхода спортсмен может осознанно инициировать подъемы центра масс, провоцируя этим отрывы лыж. Это выполняется для увеличения гравитационной составляющей, что позволяет при опускании тела увеличивать давление на лыжи в момент начала загрузки, улучшая этим их сцепление с поверхностью склона. Подобный приём применяется только в тактически оправданных случаях, например, при необходимости быстро перестроиться на сложном участке трассы или компенсировать недостаточную загрузку лыж из‑за особенностей покрытия и рельефа.

На основании данных [14], в фазе разгрузки система "лыжник-лыжи" поворачивается в квазифронтальной плоскости примерно на 70 градусов, что следует из анализа данных колонки «наклон тела» (наклон опорной линии) таблицы 1.

Таблица 1 —   Сводная таблица параметров спортивного поворота по фазам

Таким образом, траектория центра масс спортсмена зависит от множества ситуационных факторов, возникающих при прохождении трассы. Спортсмен интуитивно подстраивается под эти условия, стараясь сохранять набранную скорость. Его оптимальная стратегия сочетает устойчивое удержание контакта лыж со склоном, минимизацию ненужных подъёмов центра масс и выборочное использование контролируемых отрывов лыж там, где это даёт тактическое преимущество без потери общей стабильности движения.

Вращение в квазигоризонтальной плоскости в сторону будущего поворота создаётся лыжником в фазе выхода из поворота. Это вращение способствует формированию противоположно направленной траектории. Чем круче предстоящий поворот, тем спортсмену требуется более быстрое вращение в горизонтальной плоскости с более существенным разворотом тела в сторону предстоящего поворота. В фазе разгрузки лыжник обычно разворачивает своё тело в горизонтальной плоскости (по визуальной оценке) примерно на 30 градусов. В некоторых ситуациях при прохождении слаломных трасс, как правило в закрытых поворотах, спортсмен провоцирует первоначальное касание склона мысками лыж в началах загрузок в точке А (Рисунок 1). Это явление обусловлено следующими факторами: ускорение вращения в квазифронтальной плоскости увеличивает наклон входа в поворот, а ускорение вращения в квазигоризонтальной плоскости разворачивает лыжи в новую траекторию. Поскольку квазигоризонтальная плоскость находится под углом к плоскости склона в точке А (Рисунок 1) возникает опережение лыжами угла падения склона. В результате сначала происходит касание склона мысками лыж. Это видно при геометрическом моделировании данной ситуации и чаще всего наблюдается при выполнении закрытых поворотов, когда спортсмену необходимы опережающие действия для своевременного начала предстоящей траектории. Первоначальное касание мысками не свидетельствует о начале поворота в передней стойке. После контакта мысков со склоном происходит полноценный контакт лыж с поверхностью по всей длине внутренних к повороту кантов. Вне зависимости от характера начального контакта (будь то касание мысками или контакт по всей длине лыж) опорная точка в классическом случае займет свое место на отрезке, соединяющем пятки ботинок, со смещением к более выпрямленной внешней от поворота ноге, которая будет испытывать увеличенную нагрузку. Такое положение связано со строением опорно‑двигательного аппарата и его физиологической особенностью: наиболее эффективное воздействие стопами на опору осуществляется по осям, проходящим через пяточные кости. Спортсмен, стремясь наиболее эффективно воздействовать на опору, принимает соответствующую стойку с одновременным разворотом лыж на определенный угол скольжения, который помогает добиться положения опорной точки на отрезке, соединяющем пятки ботинок. 

Смещение опорной точки в сторону мысков лыж в фазе входа в поворот зависит от угла скольжения. При увеличении угла скольжения опорная точка закономерно смещается в сторону мысков лыж. Это обосновывается геометрически. Если рассмотреть треугольник, образованный центром масс, мысками лыж и пятками лыж, то при увеличении угла скольжения пятки лыж будут удаляться от центра масс, а мыски, напротив, приближаться. В результате проекция центра масс на лыжи смещается в направлении мысков, а стойка лыжника становится менее задней. Таким образом, чем больше угол скольжения, тем заметнее смещение проекции центра масс вдоль продольной оси лыж в направлении мысков лыж. Это геометрически неизбежно: при развороте лыж относительно вектора скорости точка приложения равнодействующей сил естественным образом сдвигается вперёд.

Воздействие тела лыжника на опору через пяточные кости не сводится к точечному воздействию на опору, а благодаря малой деформации лыжных пластин и недеформируемым подошвам ботинок передается на внутренние к повороту канты, расположенные под задними частями пластин. В методическом аспекте в начале поворота необходимо ощущать нагрузку на этих участках внутренних кантов, плотно прижимая стопы к стелькам ботинок. Для эффективного воздействия на опору таким способом требуется соответствующее построение стойки [9]. Построение и динамика стойки спортсмена позволяет не только эффективно воздействовать на опору таким способом, но и эффективно балансировать стойку по продольной оси лыж [9]. Построение и динамика стойки будут подробно описаны в соответствующих работах по биомеханике.

Таким образом, в методическом аспекте для эффективного воздействия на опору необходимо в фазе входа в поворот создавать давление под пятками ботинок. При этом лыжи автоматически развернутся на тот угол скольжения, при котором опорная точка окажется на отрезке, соединяющем пятки ботинок. Такое положение будет достигнуто, если лыжник не станет этому препятствовать и способен реализовать это технически.

Кроме того, наличие задней стойки в точке А (Рисунок 1) помогает останавливать в начале предстоящей загрузки вращение лыж и тела в сторону будущего поворота. Благодаря воздействию на опору через пяточные кости опорная точка окажется смещенной от центров вращения лыж к их пяткам. Это увеличит поперечные движению силы трения на задних участках лыж и будет препятствовать вращениям тела и лыж в сторону начинающегося поворота в точке А (Рисунок 1).

На основании изложенного понятно, что стереотип циркулирующий в тренерской и инструкторской среде о необходимости воздействия в повороте на стельку ботинка пальцами стопы или плюсной выглядит очень спорным методическим посылом. Возможно обучение этому навыку способно развить мелкую моторику, но этот прием не затрагивает построение стойки, от динамики которой зависит управление траекторией. Возможно, воздействие пальцами ног в повороте на стельку ботинка способно активировать дополнительные ощущения, возникающие от контакта лыж со склоном под грузовой пластиной. Возможно, это может переориентировать внутренние ощущения и работу вестибулярного аппарата со всей длины лыж на участок конкретного канта. Но брать за основу данный технический прием выполнения поворота, как это практикуется во многих школах по обучению, ставить его в один ряд с биомеханикой стойки, является методическим заблуждением. При обучении выполняя повороты необходимо опираться на всю стопу. И именно динамикой стойки, изменяя положение тела, учиться управлять траекторией. Причем, основная функция в управлении траекторией зависит от динамики балансира – верхней части тела спортсмена [9]. Движения балансира по правилам механики будут передаваться относительно центра масс на диаметрально противоположную часть механической системы "лыжник-лыжи" - на ботинки и лыжи, при условии создания определенной жесткости нижней части тела по подобию недеформируемого кинематического звена [9]. Построение стойки, управление балансом в дуге поворота будут подробно описаны в соответствующих работах по биомеханике. Кроме того, на спортивной трассе при условиях: необходимости сопротивления возникающей в повороте нагрузке, порой троекратно превышающей вес спортсмена; необходимости воздействия на лыжи в фазе входа по осям, проходящим через пяточные кости; возникновения в поворотах неровностей, ям, насечки, спортсмену нецелесообразно или невозможно выделять какие-либо места на стопе для взаимодействия с опорой, будь то пальцы ног или плюсна. В повороте придется опираться на всю стопу, плотно прижимая ее всей контактной поверхностью к стельке ботинка, увеличивая этим и площадь опоры, и скорость реакции воздействия на лыжи для управления траекторией. 

Сложность в обеспечении устойчивости в повороте из-за непредсказуемости возникновения опорных реакций, связанных с отсутствием идеального покрытия: ямами, брустверами, насечкой, льдом, вызывает существенные отклонения равнодействующей опорных реакций от центра масс и непредсказуемые смещения опорной точки от теоретически обоснованных положений. Все эти отклонения компенсируются изменениями стойки, изменениями положения лыж, перераспределением нагрузки по лыжам. Поэтому при входе в поворот, как правило, в соревновательных условиях, когда присутствует существенная доля риска и спортсмен находится в экстремальных ситуациях потери и восстановления устойчивости, опорная точка может занимать самые неожиданные и непредсказуемые положения, даже выходя за участки, ограниченные длинами лыжных пластин. Спортсмену в этих ситуациях порой приходится применять акробатическую изворотливость для восстановления оптимальных положений в поворотах, пытаясь сохранить набранную скорость.

Таблица 2 — Зависимость отклонений опорной точки от центров лыж в продольном направлении и углов скольжения по фазам поворота

В таблице 2 показано смещение опорной точки от центров лыж. В фазе 2 значение с отрицательным знаком говорит о смещении опорной точки в сторону пяток лыж и наличии задней стойки в начале поворота. Так же в фазе 2 увеличение угла скольжения означает начало изменения задней стойки на переднюю. В случае пассивного входа в поворот (без действий, корректирующих стойку углом скольжения) смещение опорной точки к пяткам лыж было бы больше, чем это показано в фазе 2 таблицы 2.

Вращение в квазисагиттальной плоскости. В момент контакта со склоном в точке А (Рисунок 1), у лыжника присутствует начальный наклон и угол закантовки лыж. В результате возникают существенные поперечные движению силы трения, благодаря которым инерционное прямолинейное движение системы «лыжник‑лыжи» в плоскости склона изменяется на криволинейное, зависимое от опорных реакций. Возникает центростремительное ускорение, а из‑за увеличения угла скольжения возрастают диссипативные силы, связанные с боковым проскальзыванием лыж, что приводит к торможению системы. Лыжником выполняется фаза входа в поворот, в которой диссипативные силы достигают максимума. Далее разворачиваясь по склону вниз с началом фазы ведения под действием скатывающей силы система «лыжник‑лыжи» начинает разгоняться. Угол скольжения уменьшается, углы наклона тела и закантовки лыж стабилизируются (Таблица 1). Поскольку система в фазе ведения движется с плавными нерезкими изменениями, что предопределено состоянием динамического метастабильного равновесия, при котором внутренние силы обеспечивают стабильность стойки без изменения общей траектории, все точки системы имеют одинаковую угловую скорость. При этом лыжи, двигаясь по траектории с увеличенным радиусом кривизны, имеют линейную скорость, которая несколько превышает скорость центра масс.

В колонках «%» таблицы 3 показаны скорости внешней лыжи в процентах к скоростям центра масс. В фазах 3, 4, 5 таблицы 3 показаны положительные и увеличивающиеся по фазам приращения скоростей внешней лыжи к скоростям центра масс в процентах для дистанций 10 и 13 метров (последние колонки).

Таблица 3 — Процентное соотношение скорости внешней лыжи к скорости центра масс в фазах поворота

Лыжником выполняется фаза ведения. Таким образом, на момент начала разгрузки в точке В (Рисунок 1) ботинки лыжника оказываются ниже по склону, чем центр масс, и имеют превосходящую скорость. На участке траектории от точки Б до точки В (Рисунок 1) возникает аналогия прохождения лыжником виртуального бугра. Лыжи, стремящиеся пройти линию действия вектора скатывающей силы, двигаясь в поперечном направлении к линии ската под все более увеличивающимся углом, провоцируют вращение системы "лыжник-лыжи" в квазисагиттальной плоскости с провокацией задней стойки. На участке ведения, имея связь с опорой, спортсмен своими техническими действиями в состоянии балансировать стойку по продольной оси лыж. Но, в точке В (Рисунок 1), теряя равновесие, лыжник лишается связи с опорой и возможности своей балансировки (Рисунок 2, кадр 7). Лыжи и ботинки продолжают движение по сформированной кривой, имея большую скорость, а центр масс, благодаря упругости лыжи и действию внешних сил, начинает устремляться по касательной к траектории наружу поворота в направлении вниз по склону. Проекции центра масс на опорную траекторию начинают отставать от опорной точки. В точке Г (Рисунок 1) возникает полноценное вращение системы "лыжник-лыжи", увеличивающее отклонение тела назад. Это вращение является естественным следствием выхода из поворота и будет сохраняться в фазе перехода.

На рисунке 2, кадр 7 можно наблюдать первоначальный отрыв от склона мысков лыж, что свидетельствует о вращении в квазисагиттальной плоскости, провоцирующем заднюю стойку и все более отклоняющем лыжника назад (Рисунок 2, кадры 8–10). При этом лыжи как бы стремятся убежать вперед по траектории, проходя под телом спортсмена. На кадре 10 в точке схождения траекторий центра масс и опорной в плоскости склона в точке О (Рисунок 1) можно видеть максимальное отклонение спортсмена назад.

      С точки зрения механики системы «лыжник–лыжи», пространственная взаимозависимость вращений в квазифронтальной, квазисагиттальной и квазигоризонтальной плоскостях приводит к тому, что локальные кинематические изменения в одной из них вызывают перераспределение моментов и скоростей в смежных. В результате вращение, обусловливающее развитие задней стойки в фазе выхода, через межплоскостные связи способствует увеличению угла наклона опорной линии и угла скольжения — параметров, определяющих траекторию и устойчивость входа в новый поворот.

      Минуя точку О (Рисунок 1), опорная точка начинает смещаться в направлении мысков лыж; этот процесс протекает совместно с увеличением угла наклона тела и угла скольжения. Согласно данным таблицы 2, смещение опорной точки коррелирует с ростом угла скольжения: при увеличении последнего проекция центра масс закономерно смещается вперёд по продольной оси лыж. На кадрах 11–14 (Рисунок 2) видно, что указанное смещение реализуется за счёт квазигоризонтального и квазифронтального вращений, а также скручивания тела вдоль опорной линии. С разворотом лыж относительно вектора скорости проекция центра масс на лыжи смещается в направлении мысков (Рисунок 2, кадры 12–14). При отсутствии угла скольжения продолжающееся вращение в квазисагиттальной плоскости привело бы к опрокидыванию системы.

Вращение в квазисагиттальной плоскости создает условие для увеличения наклона входа в поворот. На рисунке 3 показаны центры масс лыжников С1 и С2 на участке траектории перед точкой А (Рисунок 1), что соответствует положению спортсмена на кадре 12 (Рисунок 2). Точкой С2 (Рисунок 3) отмечен центр масс лыжника, имеющего большее отклонение назад.  На рисунке 4 показаны центры масс лыжников непосредственно в точке А (Рисунок 1), что соответствует положению спортсмена на кадре 13 (Рисунок 2). Шлейф из под лыж на кадре 13 свидетельствует о возникновении опорных реакций, поперечных движению сил трения. И как следствие баллистическая траектория центра масс (условно прямолинейная в плоскости склона) меняется на криволинейную.

Вращение лыж, благодаря квазигоризонтальному вращению и скручиванию тела (Рисунок 2, кадры 8–12), увеличивает угол скольжения. Лыжи, расположенные под углом к вектору скорости, в точке А (Рисунок 1) в момент контакта с опорой (Рисунок 2, кадр 13) направляют опорные реакции навстречу центру масс, который отставая от лыж оказывается внутри возникающей траектории. Формируется условие равновесия. Наклон лыжника определяется положением опорной точки и центром масс. Центр масс лыжника, имеющего большее отклонение назад (Рисунок 4, точка С2), оказывается ближе к центру поворота, чем центр масс лыжника, имеющего меньшее отклонение назад (Рисунок 4, точка С1). Следовательно, лыжник, находящийся в более задней стойке, имеет больший наклон входа в поворот, определяющийся опорными отрезками [РС1] и [РС2].

Таким образом, в фазе выхода вращение в квазифронтальной плоскости имеет приоритетное значение в уменьшении наклона до инверсии. В фазе перехода после инверсии, наряду с вращением в квазифронтальной плоскости, благодаря вращениям в квазигоризонтальной и квазисагиттальной плоскостях, спортсмен увеличивает свой наклон входа в поворот. Причем с кадра 10 видно, как мыски лыж начинают быстрее приближаться к склону, чем пятки лыж. Хотя на кадрах 8, 9 наблюдалось опережение мысками пяток лыж при их отрыве от склона. Это связано с вращениями в квазисагиттальной и квазигоризонтальной плоскостях. Именно от интенсивности вращений лыжника в этих двух плоскостях зависит опережающее касание склона мысками лыж. В методическом аспекте при выполнении закрытых, коротких и сложных поворотов следует добиваться первоочередных касаний склона мысками лыж, увеличивая вращения, скручивания и наклоны тела в предстоящие траектории.

В горнолыжной среде существует негативное отношение к проявлению вращения, провоцирующего заднюю стойку. В фазе загрузки это обосновано и практически, и теоретически. Но в фазе разгрузки не все так однозначно. Следует учитывать, что это вращение обеспечивает наиболее быструю доставку лыж в место очередной загрузки. Кроме того, при таком вращении даже незначительные разворот лыж и разворот тела со скручиванием помогут увеличить наклон входа в поворот и сбалансировать стойку по продольной оси лыж. Поэтому предотвращать вращение, провоцирующее заднюю стойку фазы разгрузки, не следует. Необходимо учиться использовать это вращение для более эффективного выполнения предстоящего поворота. Спортсмен должен исходить из собственных ощущений, решая на сколько отпускать лыжи в фазе разгрузки вперед по их траектории, обеспечивая этим наиболее быструю их доставку в место начала загрузки в точку А (Рисунок 1), на сколько разворачивать лыжи и тело для будущего наклона и балансирования стойки, необходимой для выполнения предстоящей загрузки.

      Заключение. В рамках физической модели горнолыжного спортивного поворота выделены две фазы загрузки: фаза инициации (входа в поворот) и фаза ведения, которые были описаны в [9], и две фазы разгрузки: выхода из поворота и перехода. Фаза выхода из поворота характеризуется неравновесным состоянием, изменением траектории центра масс с криволинейной на прямолинейную в плоскости склона, отсутствием угла скольжения, уменьшением наклона опорной линии и опорных реакций. В этой фазе формируются необходимые вращения и направление тела, обеспечивающие преобразование стойки и подготовку к очередной загрузке, а также провоцируется задняя стойка. Фаза перехода представляет собой неравновесное состояние, при котором опорные реакции не превышают вес системы «лыжник–лыжи» либо полностью отсутствуют, что обусловливает движение тела по баллистической траектории. На этом этапе сохраняются вращения, полученные в фазе выхода, и происходит инверсия угла наклона опорной линии относительно нормали.

      Установлено, что угол скольжения выступает инструментом управления: важнейшим параметром, балансирующим стойку и корректирующим ключевые параметры криволинейной траектории: скорость, наклон тела и радиус поворота. С методической точки зрения при освоении спортивной техники целесообразно провоцировать проскальзывание лыж в начале загрузок с последующим последовательным уменьшением угла скольжения вплоть до его сведения к нулю. По мере совершенствования техники спортсмен должен стремиться проходить повороты с минимальными начальными углами скольжения, что способствует увеличению скорости прохождения трассы.

      Физическая модель спортивного поворота позволяет выявить закономерность перемещения опорной точки по продольной оси лыж. В фазе выхода из поворота, на участке траектории от точки В до точки О (Рисунок 1), опорная точка смещается к пяткам лыж, достигая максимального отклонения от центров лыж в точке О. На участке от точки О до точки А (Рисунок 1), по мере увеличения угла скольжения, смещение опорной точки в направлении мысков лыж обусловлено квазигоризонтальным и квазифронтальным вращениями, а также скручиванием тела вдоль опорной линии. В точке А (Рисунок 1) возникает возможность балансирования и коррекции стойки по продольной оси лыж благодаря появлению соответствующих опорных реакций. В фазе входа смещение опорной точки к мыскам продолжается за счёт целенаправленной динамики стойки и переходом во всё более переднее положение с продолжающимся увеличением угла скольжения. Последовательный переход в переднюю стойку в фазе входа провоцирует импульс движения и постепенное снятие нагрузки с пяток лыж в фазе ведения, что способствует уменьшению угла скольжения и ускорению лыж. В результате опорная точка начинает смещаться в направлении пяток.

      Важной особенностью фазы разгрузки является пространственная зависимость вращений: изменения кинематики в одной плоскости неизбежно отражаются на параметрах в смежных плоскостях. Благодаря этому вращение, формирующее заднюю стойку, не является «побочным эффектом», а участвует в создании необходимых условий для входа в следующий поворот — оно способствует увеличению угла наклона тела и угла скольжения, тем самым задавая нужные кинематические параметры для новой дуги. С методической точки зрения это означает, что подавление задней стойки в фазе разгрузки контрпродуктивно: её следует рассматривать как естественный и полезный элемент перехода, который нужно грамотно использовать, а не устранять.

      Таким образом, на основании полученных результатов сформулированы следующие выводы:

1. Кинематические параметры предстоящей дуги поворота формируются в фазе выхода из поворота за счёт целенаправленных вращений и смещения опорной точки. Характер этих вращений (в квазифронтальной, квазигоризонтальной и квазисагиттальной плоскостях) определяет ключевые параметры траектории: радиус поворота, наклон тела и скорость.
2. Угол скольжения является управляющим параметром, балансирующим стойку и корректирующим траекторию. Его динамика позволяет управлять положением опорной точки по продольной оси лыж и минимизировать избыточное торможение.
3. Модель подтверждает, что сохранение контакта лыж со склоном в фазе перехода повышает эффективность входа в поворот и снижает излишнее торможение при начальном касании.
4. Опережающее касание мысками лыж, обусловленное интенсивными вращениями, целесообразно в сложных, закрытых поворотах и позволяет раньше начать формирование новой траектории.
5. Задняя стойка в фазе разгрузки возникает естественным образом и не должна подавляться; напротив, её следует использовать как средство ускорения перехода к следующему повороту.

      С методической точки зрения при освоении техники целесообразно провоцировать проскальзывание лыж в начале загрузок с последующим последовательным уменьшением угла скольжения вплоть до его сведения к нулю. По мере совершенствования техники спортсмен должен стремиться проходить повороты с минимальными начальными углами скольжения, что способствует увеличению скорости прохождения трассы.

      Физическая модель позволяет выявить закономерность перемещения опорной точки по продольной оси лыж и связать её с динамикой стойки и вращениями тела. Показанная модель универсальна и применима для дуг любого радиуса — от слаломного поворота до поворота в скоростном спуске.

      Таким образом, исследование раскрывает механизм формирования траектории через динамику стойки и фазы разгрузки, что даёт научно обоснованную основу для совершенствования технической подготовки спортсменов высокого класса.

      Вопросы построения стойки, её динамики и конкретных технических действий, необходимых для управления стойкой по продольной оси лыж, не являлись целью настоящей работы и будут рассмотрены в последующих публикациях по биомеханике горнолыжного спорта.

Список литературы

1. Гилев, Г. А. Основная стойка горнолыжника и анализ условий ее выполнения с позиции биомеханики / Г. А. Гилев, С. Д. Леготин, А.А. Ривлин // Ученые записки университета им. П.Ф. Лесгафта. — 2019. — № 10 (176). — С. 94-99. https://www.researchgate.net/publication/356788469_OSNOVNAA_STOJKA_GORNOLYZNIKA_I_ANALIZ_USLOVIJ_EE_VYPOLNENIA_S_POZICII_BIOMEHANIKI  
2. Курс теоретической механики. Под редакцией К.С. Колесникова, 2017, 5-е изд.; Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 580 с.
3. Леготин. С. Д. Механика горных лыж: поворт с боковым проскальзыванием и вибрацией на карвинговых лыжах / С. Д. Леготин, К. Б. Обносов, А.А. Ривлин // Российский журнал биомеханики. — 2022. — Т. 26. —  №3. — С. 29–44. https://www.researchgate.net/publication/347929723_Mechanics_of_alpine_skiing_carve_turn_with_angulation
4. Леготин, С. Д. Механика горных лыж: резаный поворот без ангуляции / С. Д. Леготин, А. А. Ривлин, В. И. Данилин // Инженерный журнал: наука и инновации. — 2017, вып. 7. — С. 15. DOI 10.18698/2308-6033-2017-7-1632.    https://www.researchgate.net/publication/318335649_Mechanics_of_alpine_skiing_carve_turn_without_angulation
5. Леготин, С. Д. Оценка предельных углов ангуляции спортсмена горнолыжника с использованием разработанного специализированного антропометрического стенда / С. Д. Леготин, А. А. Ривлин // Экстремальная деятельность человека. — 2018. — №3(49). — С. 27–31.  http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2017-7-1632
6. Леготин, С. Д. Механика горнолыжного поворота с боковым проскальзыванием / С. Д. Леготин, А. А. Ривлин // В сборнике: Фундаментальные и прикладные задачи механики. Материалы Международной научная конференции (7-10.12.2021). В 2-х частях. — Москва, 2022. — С. 68–73.  https://www.researchgate.net/publication/361306820_The_mechanics_of_a_ski_turn_with_side_slip
7. Леготин, С. Д. Механика потери устойчивости при повороте на лыжах / С. Д. Леготин, А. А. Ривлин // В сборнике: Фундаментальные и прикладные задачи механики. Материалы Международной научной конференции. — М., 2019.                                     https://www.researchgate.net/publication/344349751_Mechanics_of_stability's_loss_in_the_skiing_turning                                                                
8. Ривлин, А. А. Ангуляция как основа динамической стойки спортсмена гор,нолыжника / А. А. Ривлин, С. Д. Леготин // Культура физическая и здоровье.  2018. — №1(65). — С. 63–69.                                             http://kultura-fiz.vspu.ac.ru/content/fizkultura_2018_v65_N1.pdf
9. Ривлин, А. А. Описание фазы загрузки в физической модели горнолыжного спортивного поворота / А. А. Ривлин // Культура физическая и здоровье. — 2024. — № 4(92). — С. 399 – 416.    
10. Ривлин, А. А. Центральная стойка - основа горнолыжной техники / А. А. Ривлин, С. Д. Леготин, Е. А. Умрюхин // Культура физическая и здоровье. — 2018. — №3(67). — С. 44–49.                                                             http://kultura-fiz.vspu.ac.ru/content/fizkultura_2018_v67_N3.pdf
11. Ривлин, А. А. О равновесии и неравновесии в горнолыжном спортивном повороте / А. А. Ривлин, С. Д. Леготин // Культура физическая и здоровье. — 2023. — Т. 88. — № 4. — С. 277–286.                                                                        
12. Физиология человека: в 3-х томах / под ред. Р. Шмидта и Г. Тевса. — Т. 1. — М.: Мир, 2005.
13. Legotin, S. D. Mechanics of alpine skiing: carve turn with angulation / S. D. Legotin, K. B. Obnosov, A. A. Rivlin // В сборнике: Journal of Physics: Conference Series. Сер. "Fundamental and Applied Problems of Mechanics, FAPM 2019". — 2020. 1705(1):012034.
14. Reid, R. A. kinematic and kinetic study of alpine skiing technique in slalom. Ph.D. dissertation, Norwegian School of Sport Sciences / Reid R., 2010. http://hdl.handle.net/11250/171325                                                                                    

      References      

1. Gilev, G. A. Basic Beacon Stance and Analysis of the Conditions of Its Implementation from a Biomechanical Perspective / G. A. Gilev, S. D. Legotin, A. A. Rivlin // Scientific Notes of P. F. Lesgaft University. — 2019. — No. 10 (176). — P. 94–99. https://www.researchgate.net/publication/356788469_OSNOVNAA_STOJKA_GORNOLYZNIKA_I_ANALIZ_USLOVIJ_EE_VYPOLNENIA_S_POZICII_BIOMEHANIKI

2. Course in Theoretical Mechanics. Edited by K. S. Kolesnikov, 2017, 5th ed.; Publishing house of Bauman Moscow State Technical University, 2017. — 580 p.

3. Legotin. S. D. Mechanics of alpine skis: turn with lateral slippage and vibration on carving skis / S. D. Legotin, K. B. Obnosov, A. A. Rivlin // Russian Journal of Biomechanics. — 2022. — Vol. 26. — No. 3. — P. 29–44. https://www.researchgate.net/publication/347929723_Mechanics_of_alpine_skiing_carve_turn_with_angulation

4. Legotin, S. D. Mechanics of alpine skis: cut turn without angulation / S. D. Legotin, A. A. Rivlin, V. I. Danilin // Engineering Journal: Science and Innovation. - 2017, issue. 7. — P. 15. DOI 10.18698/2308-6033-2017-7-1632. https://www.researchgate.net/publication/318335649_Mechanics_of_alpine_skiing_carve_turn_without_angulation

5. Legotin, S. D. Evaluation of the maximum angulation angles of a racing athlete using a developed specialized anthropometric stand / S. D. Legotin, A. A. Rivlin // Extreme human activity. — 2018. — No. 3 (49). — P. 27–31. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2017-7-1632

6. Legotin, S. D. Mechanics of a near turn with sideslip / S. D. Legotin, A. A. Rivlin // In the collection: Fundamental and applied problems of mechanics. Proceedings of the World Scientific Conference (7-10.12.2021). In 2 parts. — Moscow, 2022. — P. 68–73. https://www.researchgate.net/publication/361306820_The_mechanics_of_a_ski_turn_with_side_slip

7. Legotin, S. D. Mechanics of loss of stability during a turn on skis / S. D. Legotin, A. A. Rivlin // In the collection: Fundamental and applied problems of mechanics. Proceedings of the International Scientific Conference. — Moscow, 2019. https://www.researchgate.net/publication/344349751_Mechanics_of_stability's_loss_in_the_skiing_turning

8. Rivlin, A. A. Angulation as the basis of the dynamic stance of a mountain and cross-country skier / A. A. Rivlin, S. D. Legotin // Culture Appearance and Health. 2018. — No. 1 (65). — P. 63–69. http://kultura-fiz.vspu.ac.ru/content/fizkultura_2018_v65_N1.pdf

9. Rivlin, A. A. Description of the loading phase in a physical model of a racing turn / A. A. Rivlin // Culture Appearance and Health. — 2024. — No. 4(92). — P. 399 – 416.

10. Rivlin, A. A. Central stand - the base of wireless equipment / A. A. Rivlin, S. D. Legotin, E. A. Umryukhin // Culture Appearance and Health. — 2018. — No. 3 (67). — P. 44–49. http://kultura-fiz.vspu.ac.ru/content/fizkultura_2018_v67_N3.pdf

11. Rivlin, A. A. On equilibrium and nonequilibrium in a racing turn / A. A. Rivlin, S. D. Legotin // Culture Appearance and Health. — 2023. — Vol. 88. — No. 4. — P. 277–286.

12. Human Physiology: in 3 volumes / edited by R. Schmidt and G. Thews. — Vol. 1. — Moscow: Mir, 2005.

13. Legotin, S. D. Mechanics of Alpine Skiing: Carving Turn with Angular Bending / S. D. Legotin, K. B. Obnosov, A. A. Rivlin // In the collection: Zhurnal Physiki: Conference Series. Ser. "Fundamental and Applied Problems of Mechanics, FAPM 2019". — 2020. 1705(1):012034.

14. Reid, R. A. Kinematic and Kinetic Study of Slalom Alpine Skiing Technique. PhD Dissertation, Norwegian School of Sport Science / Reid R., 2010. http://hdl.handle.net/11250/171325